Die Vermutung auf ein Binom(Erklärung Binom: siehe "Binome ausmultiplizieren")
Wenn ein vorliegender Summenterm 2 reine Quadratterme enthält,
steckt mit ziemlicher Sicherheit ein Binom dahinter! Also musst du zuerst immer
nach Quadraten Ausschau halten. Ohne Quadrate gibt es kein Binom!
Doch um welches der 3 Binome handelt es sich und wie können wir überprüfen, ob
wir es tatsächlich mit einem von ihnen zu tun haben?
(Wir sprechen hier wieder vom "ersten Binom", dem "zweiten Binom" und dem "dritten Binom".)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Für das 1. Binom benötigst du 2 reine Quadrate und einen dritten Summanden. Es darf KEIN Minus vorhanden sein zwischen diesen 3 Summanden!
Aufgrund dieser Feststellungen nimmst du an, es
handelt sich um das 1. Binom. Jetzt wurzelst du die beiden Quadrate und
schreibst sie als Summenterm hin. Du machst eine Klammern darum und setzt diese
ins Quadrat. Jetzt hast du (a + b)2.
Nun musst du deine Vermutung jedoch überprüfen. Da die beiden Quadrate bereits
stimmen müssen, weil dies die Voraussetzung für unsere Annahme war, schreiten
wir zum Doppelprodukt über. Du rechnest an dieser Stelle das Doppelprodukt von a
und b aus (2ab) und vergleichst dein Ergebnis mit dem ursprünglichen Summanden.
Wenn die beiden übereinstimmen, hast du das Binom erfolgreich entlarvt!
Doppelprodukt = du multiplizierst zuerst die beiden Summanden miteinander und verdoppelst das Produkt anschliessend (= *2).
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Für das 2. Binom benötigst du 2 reine Quadrate und einen dritten (negativen) Summanden. Die Quadrate müssen jedoch positiv sein!
Aufgrund dieser Feststellungen nimmst du an, es
handelt sich um das 2. Binom. Jetzt wurzelst du die beiden Quadrate und
schreibst sie als Differenzterm hin. Du machst eine Klammer darum und setzt
diese ins Quadrat. Jetzt hast du (a - b)2.
Nun musst du deine Vermutung jedoch überprüfen. Da die beiden Quadrate bereits
stimmen müssen, weil dies die Voraussetzung für unsere Annahme war, schreiten
wir zum (negativen) Doppelprodukt über. Du rechnest an dieser Stelle das
Doppelprodukt von a und b aus (-2ab) und vergleichst dein Ergebnis mit dem
ursprünglichen Summanden. Wenn die beiden übereinstimmen, hast du das Binom
erfolgreich entlarvt!
Für das Doppelprodukt gilt genau dasselbe wie beim 1. Binom. Diesmal ist es allerdings negativ, da jeweils einer der Faktoren ein Minus hat.
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
Für das 3. Binom benötigst du nur 2 reine Quadrate, wovon jeweils eines positiv und eines negativ sein muss!
Wenn diese Voraussetzungen gegeben sind, kann es sich nur noch um ein 3. Binom handeln! Und du kannst auch nicht mehr falsch liegen, denn hier existiert kein Doppelprodukt, auf das wir achten müssen. Du wurzelst nun die beiden Quadrate und schreibst sie einmal als Summenterm und einmal als Differenzterm hin. Die Klammern nicht vergessen! Jetzt hast du (a + b) (a - b).
Doppelprodukt = 0, weil sich das positive Produkt der beiden Summanden und das negative gegenseitig aufheben!